Урок 02. Путь, перемещение и координата

Различать путь и перемещение, учитывать зависимость траектории от системы отсчёта; находить конечную координату и объяснять знак проекции перемещения.

Понадобятся тетрадь, ручка и линейка.

Все уроки · Перейти к заданиям

Материалы к уроку

• Веб-тренажёр «Путь, перемещение и координата»: открыть
• Рабочие листы для печати (PDF, A4): Лист А · Лист Б · Лист В

Объяснение через маршрут

Модель: ученик движется как материальная точка вдоль прямого коридора. Тело отсчёта — здание, ось направлена вправо, начало оси — дверь. Координаты измеряем в метрах.

Траектория — линия, вдоль которой двигалось тело. Путь $l$ — длина пройденной траектории. Перемещение $\vec{s}$ — направленный отрезок из начального положения тела в конечное.

Путь учитывает все участки движения. Перемещение зависит только от начальной и конечной точек. Путь неотрицателен. Перемещение — вектор: у него есть модуль и направление.

Нарисовать маршрут: от двери пройти 6 м вправо, затем 2 м влево. Путь — $6+2=8$ м, конечная точка находится в 4 м справа от двери. Перемещение направлено вправо, его модуль — 4 м.

Если вернуться к двери, перемещение станет нулевым, но пройденный путь не исчезнет. Например, 6 м туда и 6 м обратно дают путь 12 м и перемещение 0.

Траектория тоже зависит от системы отсчёта

Если мяч подбросить вертикально вверх на равномерно движущемся корабле, относительно палубы он поднимется и опустится по одной вертикальной линии. Относительно берега мяч одновременно движется вперёд вместе с кораблём, поэтому его траектория будет кривой. Значит, перед описанием траектории тоже нужно назвать систему отсчёта.

Почему одного пути недостаточно

Фраза «лыжник прошёл 15 км» не сообщает, где он оказался: он мог вернуться к старту или закончить маршрут в другой точке. Для положения нужны начальная точка, направление и перемещение либо координаты.

Инженерный пример

GPS и ГЛОНАСС определяют координаты объекта в выбранной системе отсчёта. Для управления самолётом, автомобилем или беспилотником важно знать не только пройденный путь, но и текущее положение и направление движения.

Координата и проекция

Для движения вдоль оси $Ox$:

$$s_x=x-x_0,x=x_0+s_x.$$

Здесь $x_0$ — начальная координата, $x$ — конечная, $s_x$ — проекция перемещения на выбранную ось. Все три величины в СИ измеряются в метрах. Проекция положительна при перемещении вдоль оси и отрицательна при перемещении против неё. Модуль перемещения при движении вдоль этой оси равен $|s_x|$.

Направление перемещения определяют по разности координат, а не по знаку конечной координаты: из −7 м в −3 м тело переместилось вправо.

В этом уроке $l$ обозначает путь, $\vec{s}$ — перемещение. В учебниках могут встречаться другие обозначения: сначала выясняем смысл величины.

Разобранный пример

Тело переместилось по прямой без разворотов из точки $x_0=2$ м в точку $x=7$ м. Найти проекцию перемещения и путь.

Дано: $x_0=2$ м; $x=7$ м; движение без разворотов.

СИ: перевод не требуется.

Формулы: $s_x=x-x_0$; без разворотов $l=|s_x|$.

Подстановка: $s_x=7-2=5$ м; $l=|5|=5$ м.

Ответ: проекция +5 м, перемещение направлено вправо; путь 5 м.

Проверка смысла: конечная точка правее начальной, поэтому знак положительный. Если маршрут неизвестен, по двум координатам путь однозначно найти нельзя.

Наглядная схема

flowchart LR
    A["Старт: x = 0"] -->|"4 м вправо"| B["Разворот: x = 4"]
    B -->|"4 м влево"| C["Финиш: x = 0"]
    A -. "перемещение = 0" .-> C
    D["Путь = 4 + 4 = 8 м"]
    C --> D
    classDef start fill:#d3f9d8,stroke:#2b8a3e,color:#212529;
    classDef turn fill:#fff3bf,stroke:#e67700,color:#212529;
    class A,C start;
    class B turn;

Тренировка по шагам

Работай сверху вниз. Сначала запиши собственный ответ, затем нажми на свёрнутый блок «Правильный ответ» непосредственно под заданием. Исправление пиши ниже своей первой попытки, не стирая её.

Шаг 1. Путь и перемещение

Ученик прошёл 5 м вперёд и 5 м назад в исходную точку. Найди путь и модуль перемещения.

Ответ ученика

Правильный ответ к шагу 1

Путь равен $5+5=10$ м. Начальная и конечная точки совпадают, поэтому перемещение и его модуль равны 0.

Шаг 2. Движение без разворота

Тело переместилось из $x_0=5$ м в $x=1$ м без разворота. Найди $s_x$, направление и путь.

Ответ ученика

Правильный ответ к шагу 2

$s_x=x-x_0=1-5=-4$ м. Минус означает движение против положительного направления оси, то есть влево. Без разворота путь равен 4 м.

Шаг 3. Траектория в разных системах отсчёта

На равномерно движущемся корабле мяч подбросили вертикально вверх и поймали в той же точке палубы. Сравни его траекторию относительно палубы и берега.

Ответ ученика

Правильный ответ к шагу 3

Относительно палубы траектория — вертикальная прямая, а перемещение после возвращения равно нулю. Относительно берега мяч движется вперёд вместе с кораблём, поэтому траектория получается кривой и перемещение не равно нулю.

Шаг 4. Найди координату

Начальная координата −3 м, проекция перемещения +8 м. Найди конечную координату.

Ответ ученика

Правильный ответ к шагу 4

$x=x_0+s_x=-3+8=5$ м.

Шаг 5. Замкнутый маршрут

Спортсмен пробежал полный круг длиной 200 м и вернулся к старту. Найди путь и модуль перемещения.

Ответ ученика

Правильный ответ к шагу 5

Путь равен 200 м. Начальная и конечная точки совпадают, поэтому модуль перемещения равен 0 м.

Шаг 6. Маршрут с разворотом

Тело прошло из +1 м в +7 м, затем в +3 м. Найди путь и итоговую проекцию перемещения.

Ответ ученика

Правильный ответ к шагу 6

Путь: $l=(7-1)+(7-3)=6+4=10$ м. Перемещение: $s_x=3-1=2$ м.

Шаг 7. Что можно узнать

При $x_0=5$ м и $s_x=-8$ м найди конечную координату. Можно ли однозначно узнать путь?

Ответ ученика

Правильный ответ к шагу 7

$x=5-8=-3$ м. Путь однозначно неизвестен: он равен 8 м только при движении без разворотов и может быть больше при разворотах.

Вопросы ученика

Предыдущий урок · Следующий урок