Урок 03. Равномерное прямолинейное движение

Объяснять равномерное движение, находить координату, переходить от графика $x(t)$ к уравнению и обратно, а также находить место и время встречи двух тел графически и аналитически.

Понадобятся тетрадь в клетку, ручка, карандаш и линейка.

Все уроки · Перейти к заданиям

Материалы к уроку

• Веб-тренажёр «Равномерное прямолинейное движение»: открыть
• Рабочие листы для печати (PDF, A4): Лист А · Лист Б · Лист В

Модель и формулы

Рассматриваем тело как материальную точку в выбранной системе отсчёта. Оно движется по прямой с постоянной скоростью: за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Например, игрушечная машинка каждую секунду перемещается на 2 м вправо.

Важно слово «любые». Одинаковые пути только за каждую целую секунду ещё не доказывают равномерность: внутри секунды тело могло часть времени стоять, а затем двигаться быстрее.

В реальности разгон и торможение нарушают эту модель; задачи ниже описывают участок без них.

Для равномерного прямолинейного движения без смены направления:

$$l=vt,v=\frac{l}{t},t=\frac{l}{v}.$$

$l$ — путь (м), $v$ — модуль скорости (м/с), $t$ — длительность движения (с). При делении на скорость предполагаем $v>0$. Эти формулы связывают путь и модуль постоянной скорости.

Чтобы найти координату вдоль оси $Ox$, используем проекцию скорости:

$$s_x=v_{x}t,x=x_0+v_{x}t.$$

Здесь $x_0$ — координата при начале отсчёта времени, $x$ — координата через время $t$; $v_x$ положительна вдоль оси и отрицательна против неё. Для движения вдоль оси $v=|v_x|$. Отрицательная проекция означает направление, а не «меньшую быстроту».

Мини-исследование

Возьмите прозрачную трубку или бутылку с водой и пузырьком воздуха. Наклоните её так, чтобы пузырёк двигался примерно равномерно. Через одинаковые интервалы времени отмечайте положение пузырька, затем составьте таблицу $t$ и $x$. Не анализируйте силы — здесь проверяется только описание движения.

Перевод единиц

$$1\text{км/ч}=\frac{1000\text{м}}{3600\text{с}}=\frac{1}{3,6}\text{м/с}.$$

Из км/ч в м/с делим на 3,6; обратно умножаем на 3,6. Пример: 36 км/ч = 10 м/с, а 5 м/с = 18 км/ч. Время переводим отдельно: 2 мин = 120 с.

Разобранный пример

В момент начала отсчёта автомобиль находится в точке $x_0=20$ м и равномерно движется против оси со скоростью 36 км/ч. Найти координату и путь через 3 с.

Дано: $x_0=20$ м; $v=36$ км/ч; $t=3$ с; направление против оси.

СИ: $v=36/3,6=10$ м/с. Поэтому $v_x=-10$ м/с.

Формулы: $x=x_0+v_{x}t$; $l=vt$.

Подстановка: $x=20+(-10)\cdot 3=-10$ м; $l=10\cdot 3=30$ м.

Ответ: координата −10 м, путь 30 м.

Проверка: за 3 с автомобиль сместился на 30 м влево от отметки +20 м и пересёк ноль; отрицательная координата закономерна. Единицы: $(\text{м/с})\cdot \text{с}=\text{м}$.

Графические задачи: обязательный блок

График $x(t)$ показывает не форму дороги, а то, как со временем меняется координата. По горизонтали откладываем $t$, по вертикали — $x$. Для равномерного движения это прямая.

Алгоритм: от графика к уравнению

1. Прочитать названия осей, единицы и цену деления.
2. Найти $x_0$: это координата при $t=0$.
3. Выбрать на той же прямой ещё одну точную точку и вычислить

$$v_x=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}.$$

4. Записать $x=x_0+v_{x}t$. Убывающая прямая даёт $v_x<0$, возрастающая — $v_x>0$, горизонтальная — $v_x=0$.
5. Для двух тел считать точку пересечения как приближённый ответ $(t_{в}стр,x_{в}стр)$, а затем проверить его из равенства $x_1(t)=x_2(t)$.

Разобранный пример 1: даны графики

По графику тела 1: $x_{01}=8$ м. Берём точки $(0;8)$ и $(4;0)$:

$$v_{1x}=\frac{0-8}{4-0}=-2\text{м/с},x_1=8-2t.$$

По графику тела 2: $x_{02}=2$ м. Берём точки $(0;2)$ и $(4;6)$:

$$v_{2x}=\frac{6-2}{4-0}=1\text{м/с},x_2=2+t.$$

Графически прямые пересекаются примерно в точке $(2с;4м)$. Проверяем:

$$8-2t=2+t,6=3t,t=2с,$$ $$x_{в}стр=8-2\cdot 2=4м.$$

Ответ: тела встретятся через 2 с в точке $x=4$ м.

Алгоритм: от уравнений к графикам

1. Убедиться, что оба уравнения заданы в одних единицах.
2. Для каждого тела составить таблицу хотя бы для двух значений $t$. Для проверки лучше взять три.
3. Выбрать масштаб, подписать оси и единицы, нанести точки и провести две прямые по линейке.
4. По пересечению прочитать время и координату встречи.
5. Решить $x_1=x_2$ и сравнить с графиком. Небольшое расхождение из-за масштаба и толщины линий допустимо.

Разобранный пример 2: даны уравнения

Пусть $x_1=4+3t$ и $x_2=1+6t$. Составим таблицу:

$t$, с	0	1	2
$x_1$, м	4	7	10
$x_2$, м	1	7	13

На бумаге построить обе прямые. Они пересекутся в точке $(1с;7м)$. Аналитическая проверка:

$$4+3t=1+6t,3=3t,t=1с,x_{в}стр=7м.$$

Что нельзя путать

Точка пересечения графиков — это одна пара значений: по горизонтали время встречи, по вертикали место встречи. Нельзя записывать их в обратном порядке.

Наглядная схема

flowchart LR
    A["t = 0 c<br/>x = 0 м"] -->|"1 с"| B["x = 2 м"]
    B -->|"1 с"| C["x = 4 м"]
    C -->|"1 с"| D["x = 6 м"]
    V["v = 2 м/с"] --> A
    F1["Путь: l = v · t"] --> F2["Координата: x = x₀ + vₓ · t"]
    classDef formula fill:#d0ebff,stroke:#1971c2,color:#212529;
    class V,F1,F2 formula;

Тренировка по шагам

Работай сверху вниз. Сначала запиши собственный ответ, затем нажми на свёрнутый блок «Правильный ответ» непосредственно под заданием. Исправление пиши ниже своей первой попытки, не стирая её.

Шаг 1. Скорость и путь

Велосипедист едет равномерно со скоростью 18 км/ч в течение 20 с. Какой путь он проедет?

Ответ ученика

Правильный ответ к шагу 1

$18$ км/ч $=18/3,6=5$ м/с. Тогда $l=vt=5\cdot 20=100$ м.

Шаг 2. Проверь определение

Тело за каждую целую секунду проходит 5 м. Достаточно ли этого, чтобы доказать равномерное движение?

Ответ ученика

Правильный ответ к шагу 2

Нет. При равномерном движении одинаковые перемещения должны совершаться за любые равные промежутки времени. Внутри каждой секунды тело могло сначала стоять, а затем двигаться быстрее.

Шаг 3. Координата движущегося тела

Начальная координата −4 м, $v_x=2$ м/с. Где тело будет через 5 с?

Ответ ученика

Правильный ответ к шагу 3

$x=x_0+v_{x}t=-4+2\cdot 5=6$ м. За это время путь равен 10 м.

Шаг 4. Перевод единиц

Переведи 72 км/ч в м/с, а 15 м/с в км/ч.

Ответ ученика

Правильный ответ к шагу 4

$72/3,6=20$ м/с. $15\cdot 3,6=54$ км/ч.

Шаг 5. Минуты в секунды

Тело движется со скоростью 4 м/с в течение 2 мин. Найди путь.

Ответ ученика

Правильный ответ к шагу 5

$2$ мин $=120$ с. $l=4\cdot 120=480$ м.

Шаг 6. Отрицательная проекция скорости

При $x_0=8$ м и $v_x=-3$ м/с найди координату через 4 с и путь.

Ответ ученика

Правильный ответ к шагу 6

$x=8+(-3)\cdot 4=-4$ м. Модуль скорости 3 м/с, поэтому путь $l=3\cdot 4=12$ м.

Шаг 7. Найди время

Пешеход проходит 150 м со скоростью 1,5 м/с. Найди время.

Ответ ученика

Правильный ответ к шагу 7

$t=l/v=150/1,5=100$ с.

Шаг 8. Считай уравнения с графика

На рисунке две прямые. Для тела 1 видны точки $(0;8)$ и $(4;0)$, для тела 2 — $(0;2)$ и $(4;6)$. Найди $x_{01}$, $v_{1x}$, $x_{02}$, $v_{2x}$ и запиши оба уравнения.

Ответ ученика

Правильный ответ к шагу 8

Для тела 1: $x_{01}=8$ м, $v_{1x}=(0-8)/(4-0)=-2$ м/с, поэтому $x_1=8-2t$. Для тела 2: $x_{02}=2$ м, $v_{2x}=(6-2)/(4-0)=1$ м/с, поэтому $x_2=2+t$.

Шаг 9. Встреча по графику и формулам

Для $x_1=8-2t$ и $x_2=2+t$ прочитай по рисунку время и место встречи, затем проверь их аналитически.

Ответ ученика

Правильный ответ к шагу 9

Пересечение графиков: $t=2$ с, $x=4$ м. Проверка: $8-2t=2+t$, откуда $t=2$ с; затем $x=8-2\cdot 2=4$ м.

Шаг 10. Построй графики по уравнениям

Даны $x_1=4+3t$ и $x_2=1+6t$. Составь таблицу для $t=0$, 1 и 2 с, построй обе прямые на одних осях и найди встречу.

Ответ ученика

Правильный ответ к шагу 10

Таблица: для первого тела $x_1=4,7,10$ м; для второго $x_2=1,7,13$ м. Прямые пересекаются при $t=1$ с и $x=7$ м.

Шаг 11. Аналитическая проверка построения

Проверь точку встречи для $x_1=4+3t$ и $x_2=1+6t$ решением уравнения.

Ответ ученика

Правильный ответ к шагу 11

$4+3t=1+6t$, значит $3=3t$ и $t=1$ с. Подставляем: $x=4+3\cdot 1=7$ м. Результат совпадает с графиком.

Шаг 12. Итог урока

Прямая на графике проходит через точки $(0extс;6extм)$ и $(3extс;0extм)$. Найди $x_0$, $v_x$ и запиши $x(t)$.

Ответ ученика

Правильный ответ к шагу 12

$x_0=6$ м. $v_x=(0-6)/(3-0)=-2$ м/с. Уравнение: $x=6-2t$.

Вопросы ученика

Предыдущий урок · Следующий урок