Урок 09. Прямолинейное и криволинейное движение

Научиться определять вид движения по траектории, находить направление скорости на кривой, объяснять по направлению силы, почему движение прямолинейное или криволинейное, и отличать путь от перемещения на дуге.

Если не сказано иначе, берём $\pi =3,14$ и $g=10{\text{м/с}}^2$, сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Все уроки · Перейти к заданиям

Материалы к уроку

• Веб-тренажёр «Прямолинейное и криволинейное движение»: открыть
• Рабочие листы для печати (PDF, A4): Лист А · Лист Б · Лист В

Главное

Траектория — линия, по которой движется тело. Если траектория прямая, движение прямолинейное. Если траектория кривая, движение криволинейное.

Скорость в точке траектории направлена по касательной к траектории. Поэтому искры от точильного камня и брызги от колеса летят по прямым, касающимся окружности.

Второй закон Ньютона даёт связь с силой: $\vec{a}=\vec{F}/m$. Ускорение направлено так же, как равнодействующая сила.

• Если сила (и ускорение) направлены вдоль скорости или против неё — движение прямолинейное.
• Если сила направлена под углом к скорости, не равным $0^{\circ }$ и $180^{\circ }$ — движение криволинейное.
• Составляющая силы вдоль скорости меняет модуль скорости. Составляющая поперёк скорости меняет направление скорости.
• Если сила всё время перпендикулярна скорости, модуль скорости не меняется, а направление меняется.

Короткий удар не создаёт криволинейного движения: после удара тело снова движется по инерции по прямой. Для кривой траектории нужна сила, которая действует во время движения.

На дуге путь больше модуля перемещения. Путь — это длина дуги, а перемещение — прямой отрезок от начала до конца.

Откуда берутся формулы. Длина всей окружности равна $\pi$, умноженному на диаметр: $C=2\pi R$. Половина окружности — это половина длины, четверть — четверть длины:

$$l_{1/2}=\frac{C}{2}=\pi R,l_{1/4}=\frac{C}{4}=\frac{\pi R}{2}.$$

Перемещение находим из чертежа. Для полуокружности начало и конец — концы диаметра, поэтому $s=2R$. Для четверти окружности радиусы к началу и к концу перпендикулярны, поэтому вместе с отрезком-перемещением они образуют прямоугольный треугольник с катетами $R$. По теореме Пифагора $s^2=R^2+R^2=2R^2$, откуда $s=R\sqrt{2}$.

Тело, брошенное горизонтально, движется по кривой: сила тяжести направлена вниз и не лежит на одной прямой с горизонтальной скоростью. Вдоль горизонтали тело движется равномерно: $x=v_{0}t$. По вертикали оно падает без начальной скорости, как в уроке 08: $h=\frac{g{t}^2}{2}$. Выразим время: $2h=g{t}^2$, значит $t^2=\frac{2h}{g}$ и $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$.

Наглядная схема

flowchart TD
    A["Есть сила на тело?"] -->|Нет| B["Прямолинейное равномерное движение"]
    A -->|Да| C{"Сила лежит на одной прямой со скоростью?"}
    C -->|Да| D["Прямолинейное движение: меняется модуль скорости"]
    C -->|Нет| E["Криволинейное движение"]
    E --> F["Скорость направлена по касательной"]
    E --> G["Сила поперёк скорости меняет направление"]
    classDef law fill:#d0ebff,stroke:#1971c2,color:#212529;
    class B,D,E,F,G law;

Тренировка по шагам

Сначала назови силу и скорость, затем определи угол между ними и только потом делай вывод о траектории.

Шаг 1. Вид движения

Поезд едет по ровному прямому участку, затем входит в закругление пути. Какое движение у поезда на каждом участке по виду траектории?

Ответ ученика

Назови вид движения на каждом участке.

Правильный ответ к шагу 1

На прямом участке движение прямолинейное, на закруглении — криволинейное. Вид движения определяется траекторией.

Шаг 2. Куда направлена скорость

Камень раскручивают на нити по кругу. В точке A нить обрывается. Как полетит камень сразу после обрыва?

Ответ ученика

Укажи направление скорости в момент обрыва.

Правильный ответ к шагу 2

Камень полетит по прямой по касательной к окружности в точке A: скорость в каждой точке направлена по касательной. Сила нити перестала действовать, и тело движется по инерции.

Шаг 3. Сила вдоль скорости

Автомобиль разгоняется на прямой дороге. Сила тяги направлена вдоль скорости. Какое это движение и что меняется у скорости?

Ответ ученика

Определи угол между силой и скоростью.

Правильный ответ к шагу 3

Угол между силой и скоростью равен $0^{\circ }$, поэтому движение прямолинейное. Направление скорости не меняется, растёт её модуль.

Шаг 4. Сила против скорости

Шайба скользит по льду, и на неё действует сила трения против скорости. Какой будет траектория и что произойдёт со скоростью?

Ответ ученика

Вспомни угол $180^{\circ }$.

Правильный ответ к шагу 4

Траектория остаётся прямой: сила лежит на одной прямой со скоростью. Модуль скорости уменьшается, пока шайба не остановится.

Шаг 5. Сила под углом

Постоянная сила действует на тело под углом $30^{\circ }$ к скорости. Прямолинейным или криволинейным будет движение?

Ответ ученика

Сравни угол с $0^{\circ }$ и $180^{\circ }$.

Правильный ответ к шагу 5

Движение криволинейное: угол не равен $0^{\circ }$ и $180^{\circ }$. Составляющая вдоль скорости увеличивает её модуль, составляющая поперёк поворачивает направление.

Шаг 6. Сила под прямым углом

Сила всё время перпендикулярна скорости. Меняется ли модуль скорости? Меняется ли направление?

Ответ ученика

Ответь про модуль и про направление отдельно.

Правильный ответ к шагу 6

Модуль не меняется, потому что нет составляющей силы вдоль скорости. Направление меняется: сила поворачивает вектор скорости. Траектория криволинейная.

Шаг 7. Две составляющие силы

Силу, действующую на тело, разложили на две части: одна вдоль скорости, другая поперёк. Какая часть меняет модуль скорости, а какая — направление?

Ответ ученика

Сопоставь каждую составляющую с её действием.

Правильный ответ к шагу 7

Составляющая вдоль скорости меняет её модуль. Составляющая поперёк скорости меняет её направление.

Шаг 8. Путь по полуокружности

Автомобиль проехал по половине круговой площади радиусом 10 м. Найди путь при $\pi =3,14$.

Ответ ученика

Путь равен длине дуги.

Правильный ответ к шагу 8

1. Путь по дуге — часть длины окружности. Вся окружность: $C=2\pi R$ (это $\pi$, умноженное на диаметр $2R$).

2. Половина окружности — половина этой длины: $l=\frac{C}{2}=\frac{2\pi R}{2}=\pi R$.

3. Подставим: $l=3,14\cdot 10=31,4$ м.

Шаг 9. Перемещение по полуокружности

Для той же полуокружности найди модуль перемещения и сравни его с путём.

Ответ ученика

Перемещение — отрезок от начала до конца.

Правильный ответ к шагу 9

Начало и конец — концы диаметра, поэтому $s=2R=20$ м. Путь $31,4$ м больше перемещения $20$ м: на кривой путь всегда больше модуля перемещения.

Шаг 10. Перемещение по четверти окружности

Тело проехало четверть окружности радиусом 10 м. Найди модуль перемещения.

Ответ ученика

Начало и конец образуют катеты, перемещение — гипотенуза.

Правильный ответ к шагу 10

1. Четверть окружности — это угол $90^{\circ }$ при центре. Радиус к началу и радиус к концу перпендикулярны.

2. Вместе с перемещением $s$ они образуют прямоугольный треугольник: катеты равны $R$, перемещение — гипотенуза.

3. По теореме Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов): $s^2=R^2+R^2=2R^2$, значит $s=R\sqrt{2}$.

4. $s=10\cdot 1,41\approx 14,1$ м. Путь при этом — четверть длины окружности: $l=\frac{2\pi R}{4}=\frac{\pi R}{2}=15,7$ м, он больше перемещения.

Шаг 11. Горизонтальный бросок

Мяч бросили горизонтально. Почему его траектория кривая, хотя вдоль горизонтали сила на него не действует?

Ответ ученика

Найди силу и сравни её направление со скоростью в начале движения.

Правильный ответ к шагу 11

На мяч действует сила тяжести, направленная вниз. Начальная скорость горизонтальна, сила не лежит на одной прямой со скоростью, поэтому траектория кривая.

Шаг 12. Время и дальность броска

Камень бросили горизонтально со скоростью 6 м/с с высоты 20 м. Найди время падения и расстояние по горизонтали до точки падения при $g=10{\text{м/с}}^2$.

Ответ ученика

Время определяет вертикальное падение, дальность — равномерное горизонтальное движение.

Правильный ответ к шагу 12

1. По вертикали камень падает без начальной скорости (урок 08): $h=\frac{g{t}^2}{2}$.

2. Выразим время: умножим обе части на 2, получим $2h=g{t}^2$; разделим на $g$, получим $t^2=\frac{2h}{g}$; извлечём корень: $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$.

3. $t=\sqrt{\frac{2\cdot 20}{10}}=\sqrt{4}=2$ с.

4. По горизонтали сил нет, скорость постоянна: $l=vt=6\cdot 2=12$ м.

Как оценить результат

Можно переходить дальше, если не менее 10 из 12 шагов выполнены верно, ученик называет угол между силой и скоростью, правильно указывает направление скорости по касательной, различает путь и перемещение на дуге и разделяет горизонтальное и вертикальное движения при броске.

Вопросы ученика

Предыдущий урок · Следующий урок