Урок 10. Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью

Научиться находить период, частоту, скорость, угловую скорость и центростремительное ускорение при равномерном движении по окружности, показывать их направления и объяснять, зачем нужна сила, направленная к центру.

Если не сказано иначе, берём $\pi =3,14$.

Все уроки · Перейти к заданиям

Материалы к уроку

• Веб-тренажёр «Движение по окружности»: открыть
• Рабочие листы для печати (PDF, A4): Лист А · Лист Б · Лист В

Главное

При равномерном движении по окружности модуль скорости постоянен, а направление скорости меняется. Скорость направлена по касательной. Так как вектор скорости меняется, у тела есть ускорение.

Период $T$ — время одного оборота, частота $\nu$ — число оборотов за 1 с:

$$T=\frac{t}{N},\nu =\frac{N}{t},\nu =\frac{1}{T}.$$

Откуда формулы. Если $N$ оборотов заняли время $t$, то один оборот занимает в $N$ раз меньше: $T=t/N$. Частота — число оборотов за секунду: $\nu =N/t$, а так как $1/T=N/t$, то $\nu =1/T$.

Единица периода — секунда, частоты — герц (Гц), $1\text{Гц}=1{\text{с}}^{-1}$.

За один оборот тело проходит путь, равный длине окружности $2\pi R$, а время одного оборота — это период $T$. Скорость — это путь, делённый на время, поэтому $v=2\pi R/T$.

Напоминание: радиан. Угол можно измерять в градусах, а можно в радианах. 1 радиан — это центральный угол, которому соответствует дуга, равная по длине радиусу. Вся окружность имеет длину $2\pi R$, то есть содержит $2\pi R/R=2\pi$ таких дуг. Поэтому полный оборот — это $2\pi$ рад, и это те же $360^{\circ }$. Отсюда $\pi$ рад $=180^{\circ }$, $\frac{\pi }{2}$ рад $=90^{\circ }$, а $1$ рад $=\frac{180^{\circ }}{\pi }\approx 57,3^{\circ }$. Перевод: угол в радианах равен углу в градусах, умноженному на $\pi /180$.

За тот же период радиус поворачивается на полный угол $2\pi$ рад (то есть на $360^{\circ }$), поэтому угловая скорость $\omega =2\pi /T$. Подставим $2\pi /T=\omega$ в формулу скорости: $v=\omega R$. Итог:

$$v=\frac{2\pi R}{T}=2\pi R\nu ,\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi \nu ,v=\omega R.$$

Угловая скорость измеряется в рад/с.

Почему ускорение есть. Ускорение — это изменение вектора скорости за единицу времени. Вектор меняется, если меняется модуль или направление. При движении по окружности направление меняется всегда, поэтому ускорение не равно нулю, даже когда модуль скорости постоянен.

Откуда $a=v^2/R$. За малое время $\Delta t$ тело проходит дугу $v\Delta t$, и радиус поворачивается на угол $\phi =\frac{v\Delta t}{R}$ (длина дуги, делённая на радиус). Вектор скорости поворачивается на тот же угол, а его модуль не меняется, поэтому изменение скорости $\Delta v=v\phi =\frac{v^2\Delta t}{R}$. Ускорение — это изменение скорости за время: $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v^2}{R}$. Формулы $a={\omega }^{2}R$ и $a=\frac{4{\pi }^{2}R}{T^2}$ получаются подстановкой $v=\omega R$ и $\omega =2\pi /T$.

Центростремительное ускорение направлено к центру окружности:

$$a=\frac{v^2}{R}={\omega }^{2}R=\frac{4{\pi }^{2}R}{T^2}.$$

По второму закону Ньютона сила, сообщающая такое ускорение, тоже направлена к центру: $F=ma=\frac{m{v}^2}{R}$. Это может быть натяжение нити, сила трения шин о дорогу, сила тяготения. Скорость направлена по касательной, ускорение — к центру, поэтому они перпендикулярны.

Наглядная схема

flowchart TD
    A["Равномерное движение по окружности"] --> B["Модуль скорости постоянен"]
    A --> C["Направление скорости меняется"]
    C --> D["Есть центростремительное ускорение"]
    D --> E["Ускорение направлено к центру"]
    E --> F["a = v² / R"]
    B --> G["v = 2πR / T"]
    F --> H["Сила тоже направлена к центру: F = ma"]
    classDef law fill:#d0ebff,stroke:#1971c2,color:#212529;
    class A,D,E,F,G,H law;

Тренировка по шагам

Сначала переведи единицы в СИ, запиши известные величины, выбери формулу и проверь единицу ответа.

Шаг 1. Что меняется

Тело равномерно движется по окружности. Постоянен ли модуль скорости? Постоянен ли вектор скорости? Есть ли ускорение?

Ответ ученика

Раздели модуль и направление.

Правильный ответ к шагу 1

1. Модуль скорости постоянен: слово «равномерно» говорит, что тело проходит за равные времена равные дуги.

2. Вектор скорости — это модуль и направление. Скорость направлена по касательной, а касательная в каждой точке окружности смотрит в новую сторону. Значит, вектор скорости не постоянен.

3. Ускорение — это быстрота изменения вектора скорости: $\vec{a}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$, где $\Delta \vec{v}={\vec{v}}_2-{\vec{v}}_1$ — векторная разность. Ускорение равно нулю только тогда, когда вектор скорости не меняется совсем.

4. Пример. Скорость 5 м/с. В верхней точке она направлена вправо, через полоборота в нижней — влево. Модули одинаковы, но $\Delta \vec{v}={\vec{v}}_2-{\vec{v}}_1$ — это $5-(-5)=10$ м/с, а не ноль.

5. Итог: направление скорости меняется, поэтому $\Delta \vec{v}\ne 0$ и у тела есть ускорение. Оно не меняет модуль скорости, а только поворачивает вектор; его направление — к центру окружности.

Шаг 2. Период и частота

Колесо сделало 40 оборотов за 20 с. Найди период и частоту.

Ответ ученика

Используй $T=t/N$ и $\nu =N/t$.

Правильный ответ к шагу 2

1. 40 оборотов заняли 20 с, значит один оборот занимает в 40 раз меньше: $T=t/N=20/40=0,5$ с.

2. Частота — число оборотов за 1 с: $\nu =N/t=40/20=2$ Гц.

3. Проверка: $\nu =1/T=1/0,5=2$ Гц.

Шаг 3. Период по частоте

Частота вращения диска 4 Гц. Найди период.

Ответ ученика

Период и частота обратны друг другу.

Правильный ответ к шагу 3

$T=1/\nu =1/4=0,25$ с.

Шаг 4. Линейная скорость

Точка движется по окружности радиусом 2 м с периодом 4 с. Найди скорость точки при $\pi =3,14$.

Ответ ученика

За один оборот точка проходит $2\pi R$.

Правильный ответ к шагу 4

1. За один оборот точка проходит длину окружности: $2\pi R$. Время одного оборота — период $T$.

2. Скорость — путь, делённый на время: $v=\frac{2\pi R}{T}$.

3. $v=\frac{2\cdot 3,14\cdot 2}{4}=3,14$ м/с.

Шаг 5. Угловая скорость

Для той же точки найди угловую скорость и проверь связь $v=\omega R$.

Ответ ученика

Сначала $\omega =2\pi /T$, затем сравни с $v/R$.

Правильный ответ к шагу 5

1. Напоминание: 1 радиан — угол, которому соответствует дуга длиной в один радиус. Вся окружность $2\pi R$ содержит $2\pi$ таких дуг, поэтому полный оборот $360^{\circ }=2\pi$ рад (примерно $6,28$ рад).

2. Угловая скорость — это угол поворота радиуса за единицу времени. За один период радиус поворачивается на полный угол $2\pi$ рад, поэтому $\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\cdot 3,14}{4}=1,57$ рад/с. Проверка: $\omega R=1,57\cdot 2=3,14$ м/с, это совпадает со скоростью из шага 4.

Шаг 6. Скорость через угловую

Угловая скорость точки 3 рад/с, радиус окружности 0,4 м. Найди линейную скорость.

Ответ ученика

Используй $v=\omega R$.

Правильный ответ к шагу 6

Из $v=\frac{2\pi R}{T}=\frac{2\pi }{T}\cdot R$ и $\omega =\frac{2\pi }{T}$ получаем $v=\omega R=3\cdot 0,4=1,2$ м/с.

Шаг 7. Центростремительное ускорение

Тело движется по окружности радиусом 2 м со скоростью 4 м/с. Найди центростремительное ускорение.

Ответ ученика

Используй $a=v^2/R$.

Правильный ответ к шагу 7

Формула $a=v^2/R$ получена в разделе «Главное»: $\Delta v=v\phi$, $\phi =v\Delta t/R$, $a=\Delta v/\Delta t$. Подставим: $a=4^2/2=8$ м/с².

Шаг 8. Направления векторов

Куда направлены в одной и той же точке окружности скорость, ускорение и сила, действующая на тело?

Ответ ученика

Скажи про каждый вектор отдельно.

Правильный ответ к шагу 8

Скорость направлена по касательной. Ускорение и равнодействующая сила направлены к центру окружности. Скорость и ускорение перпендикулярны.

Шаг 9. Автомобиль на повороте

Автомобиль массой 900 кг движется по закруглению радиусом 36 м со скоростью 12 м/с. Найди центростремительное ускорение и силу, которая его создаёт.

Ответ ученика

Сначала $a$, затем $F=ma$.

Правильный ответ к шагу 9

$a=v^2/R=12^2/36=4$ м/с². $F=ma=900\cdot 4=3600$ Н. На повороте её создаёт сила трения шин о дорогу, направленная к центру закругления.

Шаг 10. Влияние скорости

Автомобиль входит в тот же поворот вдвое быстрее. Во сколько раз изменятся центростремительное ускорение и необходимая сила?

Ответ ученика

Скорость входит в формулу во второй степени.

Правильный ответ к шагу 10

$a=v^2/R$, поэтому при удвоении $v$ ускорение и сила увеличатся в 4 раза: $a=16$ м/с², $F=14400$ Н. Если трение не создаёт такой силы, автомобиль заносит.

Шаг 11. Секундная стрелка

Конец секундной стрелки находится на расстоянии 5 см от оси. Найди скорость конца стрелки в мм/с при $\pi =3,14$.

Ответ ученика

Период секундной стрелки — 60 с; радиус переведи в мм или метры.

Правильный ответ к шагу 11

$T=60$ с, $R=0,05$ м. $v=2\pi R/T=2\cdot 3,14\cdot 0,05/60\approx 0,0052$ м/с $=5,2$ мм/с.

Шаг 12. Исправь ошибку

Ученик написал: «При равномерном движении по окружности скорость постоянна, поэтому ускорение равно нулю». Найди ошибку и объясни ответ.

Ответ ученика

Различи постоянный модуль скорости и постоянный вектор скорости.

Правильный ответ к шагу 12

Постоянен только модуль скорости. Направление вектора меняется, поэтому ускорение не равно нулю: оно направлено к центру и равно $v^2/R$.

Как оценить результат

Можно переходить дальше, если не менее 10 из 12 шагов выполнены верно, ученик не путает период с частотой, правильно показывает скорость по касательной и ускорение к центру, использует $v=2\pi R/T$ и $a=v^2/R$ и объясняет, что постоянный модуль скорости не означает нулевое ускорение.

Вопросы ученика

Предыдущий урок · Следующий урок